lunes, 17 de septiembre de 2012

Multiplicación y division de radicales

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
producto
radical
radical
Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
radical
radical
radical
radical

Multiplicación de radicales con distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
radical
radical
radical
radical
radical
radicals

División de radicales con el mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
División de radicales
División de radicales
División de radicales

División de radicales con distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
radical
División de radicales
Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.
División de radicales
División de radicales


Adición y sustracción

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Suma de radicales





sumass
 .

Extraer factores de un radical


Se descompone el radicando en factores. Si:
1 Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Extraer factores de un radical
Extraer factores de un radical
2Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Extraer factores de un radical
Extraer factores de un radical
Extraer factores de un radical
3Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Extraer factores de un radical
Extraer factores de un radical
radical
radicald

Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes.
Suma de radicales

Ejemplos

sumas y restas de radicales
sumas y restas de radicales
sumas y restas de radicales
sumas y restas de radicales

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente. 

Simplificación de radicales
Radiales equivalentes
Simplificar radicales
Simplificar radicales

martes, 4 de septiembre de 2012

Desigualdad triangular




Valor absoluto de un número real

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

x

Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6.
Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.
En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número.
De modo general, el valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces |a| = −a.
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:

x
Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos.
Veamos los siguientes ejemplos
Ejemplo 1
a) valor_absoluto001
b) valor_absoluto002
Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.
c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2, pues x − 2 > 0. Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la deja igual.
d) Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2),  pues  x − 2 < 0 . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto la cambia de signo.
Ecuaciones con valor absoluto
Si x es una incógnita en la expresión |x − 3|, entonces no sabemos si x − 3 es positivo o negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuación:
|x − 3| = 5
deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas:
x − 3 = 5
o bien
x − 3 = −5
La primera es en el caso de que x − 3 sea positivo, la segunda en la situación de que sea negativo.
Resolviendo las dos ecuación, tenemos que
x = 8 o bien x = −2
Efectivamente, estos valores de x satisfacen la ecuación: |x − 3| = 5
Veamos más ejemplos de resolución de ecuaciones en valor absoluto
Resolver |x − 4| = 3
Hay dos posibilidades: x − 4 = 3  o bien x − 4 = −3.
Las soluciones de ellas son 7 y 1.
Veamos:
x − 4 = 3
x = 3 + 4
x = 7
o bien
x − 4 = −3
x = −3 + 4
x = 1
Resolver 3 |5 − 4x| = 9
Veamos:
Hasta ahora, sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto se presenta en el lado izquierdo, así es que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3 ambos miembros de la ecuación:
valor_absoluto005
De esta manera la ecuación dada es equivalente a:
|5 − 4x| = 3
Ahora,  esta ecuación en valor absoluto es equivalente a
5 − 4x = 3    o bien   5 − 4x = −3
Despejando x:
Si 5 − 4x = 3
−4x = 3 − 5
−4x = −2    /−1
4x = 2
valor_absoluto006
Si 5 − 4x = −3
−4x = −3 − 5
−4x = −8    /−1
4x = 8
valor_absoluto007
Las soluciones para la ecuación primitiva son valor_absoluo008 y 2.
Conocida esta respuesta, podemos representar el conjunto solución de nuestra ecuación 3 |5 − 4x| = 9 a través de la notación de conjunto como:
valor_absoluto009

Recuerde que un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo ( x).
Propiedades fundamentales
x
x
x Propiedad multiplicativa
x Propiedad aditiva

Otras propiedades

x Simetría
x
x

Otras dos útiles inecuaciones son:

x

x
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

x
x
x