Los números fraccionarios

Estos números surgen de la necesidad de expresar fracciones de unidad.
Por ejemplo:
"Tomas comió tres de las cuatro partes de las que constaba su tableta de chocolate" -->  3/4
4 dividido 3  -- >  4/3

• Se llama fracción a un cociente de números enteros. Todo número entero qe puede ser expresado mediante una fracción es un número racional. A este conjunto de números se los designa con la letra Q.
• Todo número entero se puede expresar como una fracción con denominador 1. Por ejemplo 3 = 3/1  ;  -4= -4/1
• Todo número racional se puede expresar como número decimal exacto o periodico. por ejemplo 0,4 = 4/10  ;  1/3=0,3333....
• Dos fracciones, a/b y c/d, que cumplen con la condición  a·b = c·d son equivalentes. Esto significa que expresan el mismo número racional.
• La unión del conjunto Z de los números enteros y el conjunto de números fraccionarios que no representan los números enteros es el conjunto Q de números racionales.

Las propiedades de Q son:
1. Es  infinito (∞)
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Entre dos números racionales existen infinitos numeros racionales. Por ello se dice que el conjunto de números racionales es denso.
4. Como consecuencia de la propiedad anterior , ningún numero racional tiene sucesor ni antecesor.

Q es un conjunto ordenado por la relacion menor o igual. Si los números racionales a/b y c/d son fraccionarios irreducibles, se cumple que:   a/b > c/d    < --- >  a·d>c·d

Los números negativos

Entonces, el hombre conoce los números naturales desde el momento que tuvo necesidad de contar, pero éstos no le alcanzan para expresar muchas situaciones, como por ejemplo las temperaturas bajo cero o el saldo deudor de una cuenta bancaria. Por eso fue necesaria la creación de los números negativos.

Los números negativos son los opuestos de los números naturales distintos de cero. El cero no es ni positivo ni negativo.

El conjunto de los números enteros  es la unión de los números enteros negativos, el conjunto que tiene a cero como único elemento y el conjunto de los números enteros positivos.

Al conjunto de los números enteros lo designamos con Z.

Las propiedades de Z son:
1. Es infinito
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Todo número entero tiene sucesor. un número entero y su sucesor se dicen consecutivos.
4. Todo número entero tiene antecesor.
5. El sucesor c de un número b es mayor que él y su antecesor a es menor. Simbólicamente: a<b<c
6. Entre dos números enteros existe siempre un número finito de números enteros. Por eso el conjunto de números enteros es discreto.

Los números naturales

Cada día, en nuestra conversación, por la televisión, en la lectura o por ejemplo, en un diario o en el trabajo, está presente la idea de conjunto. 

Por ejemplo, al pasar por la plaza se levantó una bandada de palomas o en el diario leemos que nuestro equipo de fútbol preferido gano el partido.

Entendemos que una bandada es un conjunto de pájaros, el equipo de fútbol es un conjunto de jugadores.

Otro ejemplo es el conjunto de notas musicales que seria A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}

Constantemente relacionamos conjunto con distintos fines; uno de ellos es el de contar sus elementos. Para contar utilizamos los Números naturales

Al principio, el hombre fue relacionando conjunto para contar sus elementos. Al comparar cantidades, se acercó a nuestra noción actual de contar mediante correspondencias, por ejemplo, con partes del cuerpo: "tengo tantas vacas como dedos en la mano".

Cada vaca se relaciona con un único dedo; los elementos del conjunto vaca se puede "aparear" con el conjunto de los dedos de la mano; decimos, entonces, que estos dos conjuntos son coordinables, o que tiene el mismo cardinal.

El cardinal de un conjunto finito es un número natural.

Por ejemplo

El cardinal del junto de vacas es el número 5. El cardinal del conjunto de notas musicales es 7. El cardinal del conjunto vacío es 0.

Al conjunto de numeros naturales lo designamos con N:  N={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Las propiedades de N son:

1. Es infinito

2. Tiene primer elemento: cero. No tiene último elemento

3. Todo número natural tiene un sucesor. Un número natural y su sucesor se dicen consecutivos.

4. Todo número (exepto cero) tiene un antecesor.

5. El sucesor c de un número natural b es mayor que él y su antecesor a es menor. Simbolicamente: a<b<c

6. Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números naturales. Por eso se dice que es un conjunto discreto.

La Circunferencia Trigonométrica

• Razones trigonométricas

Ahora vamos a suponer que el radio de la circunferencia es 1

Que pasa con los ángulos complementarios

Formulas y relaciones trigonométricas

Funciones trigonométricas inversas

Relaciones fundamentales

Funciones de suma y diferencia de ángulos

Suma y diferencia de funcoines

Producto de funciones

Teorema del Coseno

El Teorema del coseno dice que el cuadrado del tercer lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos el doble producto de ambos lados, multiplicados por el Coseno del ángulo que forman.

Con estas tres fórmulas podemos calcular:

• Un ángulo (si tenemos como dato los tres lados).
• Un lado (si tenemos como dato uno de los otros lados y el ángulo que forman).

Teorema del Seno

El Teorema del Seno dice que la Razón entre los lados de cualquier triángulo y Los senos de los 
ángulos opuestos es constante.

Esta fórmula es una triple igualdad. Y parece complicada para usar, pero en realidad cuando usemos este teorema no usaremos la triple igualdad asi como esta. Vamos a usar solo una parte. Por ejemplo:

Hay que usar la parte que mas conviene, en función de los datos que se tenga y de lo que hay que calcular. Por ejemplo si tenemos de dato el lado A y los ángulos a y c y hay que calcular el lado C, entonces se usa la parte de la fórmula que relaciona "A" y "C".

No hace falta que sea un triángulo rectángulo, por lo tanto esto se puede usar en cualquier tipo de triángulo.

Ejemplo:
Calcular C y los ángulos a y c

Reemplazamos los valores en la fórmula
3m/Sen(a) = 2,8m/Sen(60)
3m . Sen(60) = 2,8m . Sen(a)
2,59m / 2,8 m = Sen(a)
Sen(a) = 0,92
a = ArcoSen (0,92)
a= 68º16'

Ya calculamos "a" ahora sabemos que la suma de los ángulos interiores es 180º
entonces:
a+b+c = 180º
c= 180º - 60º - 68º16'
c= 51º44' 


Ahora solo falta calcular el lado C
3m/Sen(68º16')    = C/Sen(51º44')
[3m . Sen(51º44')] / Sen(68º16')  =  C
C = 2,55m

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras dice:
"La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa."

La Hipotenusa siempre es el lado más largo del triángulo.
Los catetos son los lados que forman el ángulo recto.

Esta fórmula nos sirve para calcular el tercer lado de un triángulo rectángulo, sabiendo cuanto valen los dos primeros.
El Teorema de Pitágoras sólo se puede usar con triángulos rectángulos.

Ejemplo:



Supongamos que tenemos como datos que un cateto mide 3cm y el otro cateto mide 4cm. Y tenemos que calcular la Hipotenusa.



Plantemos la fórmula y reemplazamos por los valores que tenemos como datos.

Hacemos las cuentas,
3x3 = 9   4x4 = 16    cm x cm = cm^2   
25cm^2 = H^2

Pasamos el cuadrado de H como Raíz afectando a todo los terminos del lado izquierdo.
Nos queda algo así.

Realizamos ese último calculo y tenemos como respuesta que el valor de la Hipotenusa es 5cm.

Propiedades importantes de las proporciones

• En una proporción pueden invertirse las razones. 

Si  a/b=c/d, entonces b/a=d/c

Ejemplo:
3/5 = 24/40   =>    5/3 = 40/25

• En una proporción a cada antecedente se puede sumar su respectivo consecuente, o a cada consecuente se le puede sumar su respectivo consecuente.

Si  a/b=c/d entonces (a+b)/b = (c+d)/d  o bien  a/(a+b)=c/(c+d)

Ejemplo:
3/5 = 24/40  =>  a) (3+5)/5 = (24+40)/40   b) 3/(3+5) = 24/(24+40)

• En una proporción a cada antecedente se puede restar su respectivo consecuente, o a cada consecuente se le puede restar su respectivo consecuente.

Si  a/b=c/d entonces (a-b)/b = (c-d)/d  o bien  a/(a-b)=c/(c-d)

Ejemplo:
3/5 = 24/40  =>  a) (3-5)/5 = (24-40)/40   b) 3/(3-5) = 24/(24-40)

• En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es la suma de los consecuentes, como cualquiera de sus antecedentes es su respectivo consecuente. Es decir, la razón entre suma de antecedentes y suma de consecuentes es la constante de proporcionalidad.

Si  a/b=c/d=e/f entonces  a+b+c / b+d+f =  a/b=c/d=e/f

Ejemplo:
3/5 = 24/40    => 3+24 / 5+40  = 3/5 = 24/40


Todas estas propiedades son muy útiles para resolver sistemas con ecuaciones en los que tenemos más de una incógnita, pero sabemos el valor de la suma de alguna de ellas o de la resta.

Ejemplo. La suma de dos números es 33 y su razón es 3/8. ¿Cuáles son esos números?
 A/B=3/8  =>  (A+B)/B = (3+8)/8  => 33/B = 11/8
Así nos queda una sola incógnita que podemos despejar facilmente.

Proporcionalidad numérica

La proporcionalidad está presente en muchos aspectos de la vida cotidiana. La cantidad de cada ingrediente en una tarta y el número de comensales, son situaciones de proporcionalidad numérica.

• ¿Qué es una proporción numérica?

Es una relación entre números.

Definición:
Los números a, b y c, d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Es decir, a/b = c/d
Se lee "a es a b como c es a d".

Ejemplo 1:
Los números 6, 15 y 24, 60 forman una proporción, ya que la razón entre 6 y 15 es la misma que la razón entre 24 y 60.
Es decir,

6/15 = 24/60

6/15=0,4
24/60=0,4

Ejemplo 2:
Entre 3 y 6 hay una razón, en este caso la razón es 1/2 o 0,5. Es asi porque el primero es la mitad del otro. Si igualamos esta razón a otra razón equivalente (por ejemplo 2 y 4, cuya razón también es 1/2), obtenemos una proporcionalidad entre ambas razones.

3/6 = 2/4

• Constante de proporcionalidad

Esto de las proporciones se pone interesante cuando igualamos dos o más razones equivalentes. En estos casos aparece lo que se denomina Constante de Proporcionalidad.
La razón entre 8 y 2 es 4
La razón entre 20 y 5 es 4
8/2=20/5
En este caso la constante de propocionalidad es 4

Otro ejemplo:     8/6 = 12/9 = 20/15
8/6=4/3
12/9=4/3
20/15=4/3

La constante de proporcionalidad en este caso es 4/3.

• Medios y extremos de las proporciones

Dada una proporcionalidad, se llaman medios al denominador de la primera razón y al numerador de la segunda razón y extremos al numerador de la primera razón y al denominador de la segunda razón.

a/b = c/d

"a" y "d" son extremos
"b" y "c" son medios

• Propiedad fundamental de las proporciones

 La propiedad fundamental de las proporciones dice así: "El producto de los medios es igual al producto de los extremos".

Entonces si en una proporción multiplico los medios y los extremos, ambos productos me tienen que dar lo mismo.

Podemos verificar en los ejemplos anteriores.
Para 8/2=20/5

8 . 5 = 40
2 . 20 = 40

Si no se llegara a verificar la propiedad es porque las razones no son fracciones equivalentes, o dicho de otra forma, porque no hay proporcionalidad entre los términos de la igualdad.