Propiedades importantes de las proporciones

• En una proporción pueden invertirse las razones. 

Si  a/b=c/d, entonces b/a=d/c

Ejemplo:
3/5 = 24/40   =>    5/3 = 40/25

• En una proporción a cada antecedente se puede sumar su respectivo consecuente, o a cada consecuente se le puede sumar su respectivo consecuente.

Si  a/b=c/d entonces (a+b)/b = (c+d)/d  o bien  a/(a+b)=c/(c+d)

Ejemplo:
3/5 = 24/40  =>  a) (3+5)/5 = (24+40)/40   b) 3/(3+5) = 24/(24+40)

• En una proporción a cada antecedente se puede restar su respectivo consecuente, o a cada consecuente se le puede restar su respectivo consecuente.

Si  a/b=c/d entonces (a-b)/b = (c-d)/d  o bien  a/(a-b)=c/(c-d)

Ejemplo:
3/5 = 24/40  =>  a) (3-5)/5 = (24-40)/40   b) 3/(3-5) = 24/(24-40)

• En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es la suma de los consecuentes, como cualquiera de sus antecedentes es su respectivo consecuente. Es decir, la razón entre suma de antecedentes y suma de consecuentes es la constante de proporcionalidad.

Si  a/b=c/d=e/f entonces  a+b+c / b+d+f =  a/b=c/d=e/f

Ejemplo:
3/5 = 24/40    => 3+24 / 5+40  = 3/5 = 24/40


Todas estas propiedades son muy útiles para resolver sistemas con ecuaciones en los que tenemos más de una incógnita, pero sabemos el valor de la suma de alguna de ellas o de la resta.

Ejemplo. La suma de dos números es 33 y su razón es 3/8. ¿Cuáles son esos números?
 A/B=3/8  =>  (A+B)/B = (3+8)/8  => 33/B = 11/8
Así nos queda una sola incógnita que podemos despejar facilmente.

Proporcionalidad numérica

La proporcionalidad está presente en muchos aspectos de la vida cotidiana. La cantidad de cada ingrediente en una tarta y el número de comensales, son situaciones de proporcionalidad numérica.

• ¿Qué es una proporción numérica?

Es una relación entre números.

Definición:
Los números a, b y c, d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Es decir, a/b = c/d
Se lee "a es a b como c es a d".

Ejemplo 1:
Los números 6, 15 y 24, 60 forman una proporción, ya que la razón entre 6 y 15 es la misma que la razón entre 24 y 60.
Es decir,

6/15 = 24/60

6/15=0,4
24/60=0,4

Ejemplo 2:
Entre 3 y 6 hay una razón, en este caso la razón es 1/2 o 0,5. Es asi porque el primero es la mitad del otro. Si igualamos esta razón a otra razón equivalente (por ejemplo 2 y 4, cuya razón también es 1/2), obtenemos una proporcionalidad entre ambas razones.

3/6 = 2/4

• Constante de proporcionalidad

Esto de las proporciones se pone interesante cuando igualamos dos o más razones equivalentes. En estos casos aparece lo que se denomina Constante de Proporcionalidad.
La razón entre 8 y 2 es 4
La razón entre 20 y 5 es 4
8/2=20/5
En este caso la constante de propocionalidad es 4

Otro ejemplo:     8/6 = 12/9 = 20/15
8/6=4/3
12/9=4/3
20/15=4/3

La constante de proporcionalidad en este caso es 4/3.

• Medios y extremos de las proporciones

Dada una proporcionalidad, se llaman medios al denominador de la primera razón y al numerador de la segunda razón y extremos al numerador de la primera razón y al denominador de la segunda razón.

a/b = c/d

"a" y "d" son extremos
"b" y "c" son medios

• Propiedad fundamental de las proporciones

 La propiedad fundamental de las proporciones dice así: "El producto de los medios es igual al producto de los extremos".

Entonces si en una proporción multiplico los medios y los extremos, ambos productos me tienen que dar lo mismo.

Podemos verificar en los ejemplos anteriores.
Para 8/2=20/5

8 . 5 = 40
2 . 20 = 40

Si no se llegara a verificar la propiedad es porque las razones no son fracciones equivalentes, o dicho de otra forma, porque no hay proporcionalidad entre los términos de la igualdad.