Los números reales

• La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto I de números irracionales es el conjunto R de números Reales, que puede representarse mediante una linea continua llamada Recta Real. Cada punto sobre esta recta representa un número real, y a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta. Por ello, con los números reales se completa la recta numérica.

Las propiedades de R son:
1. Es infinito
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Entre dos números reales existe siempre un número infnito de reales. Se dice que el conjunto de números reales es denso.
4. Ningún número real tiene sucesor ni antecesor.
5. El conjunto R es un conjunto totalmente ordenado por la relación, menor o igual.
6. Es un conjunto continuo porque completa la recta numérica.

Hemos visto los números naturales, enteros, racionales y reales. un número natural es también entero, y un número entero puede escribirse como un número racional utilizando una fracción que tenga un 1 de denominador.

Si m es entero, entonces  m/1=m es racional.

Tenemos así dos grandes grupos de números: los racionales y los irracionales. Estos dos grandes grupos forman el conjunto de los números reales.

Los números naturales

Cada día, en nuestra conversación, por la televisión, en la lectura o por ejemplo, en un diario o en el trabajo, está presente la idea de conjunto. 

Por ejemplo, al pasar por la plaza se levantó una bandada de palomas o en el diario leemos que nuestro equipo de fútbol preferido gano el partido.

Entendemos que una bandada es un conjunto de pájaros, el equipo de fútbol es un conjunto de jugadores.

Otro ejemplo es el conjunto de notas musicales que seria A = {do, re, mi, fa, sol, la, si}

Constantemente relacionamos conjunto con distintos fines; uno de ellos es el de contar sus elementos. Para contar utilizamos los Números naturales

Al principio, el hombre fue relacionando conjunto para contar sus elementos. Al comparar cantidades, se acercó a nuestra noción actual de contar mediante correspondencias, por ejemplo, con partes del cuerpo: "tengo tantas vacas como dedos en la mano".

Cada vaca se relaciona con un único dedo; los elementos del conjunto vaca se puede "aparear" con el conjunto de los dedos de la mano; decimos, entonces, que estos dos conjuntos son coordinables, o que tiene el mismo cardinal.

El cardinal de un conjunto finito es un número natural.

Por ejemplo

El cardinal del junto de vacas es el número 5. El cardinal del conjunto de notas musicales es 7. El cardinal del conjunto vacío es 0.

Al conjunto de numeros naturales lo designamos con N:  N={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Las propiedades de N son:

1. Es infinito

2. Tiene primer elemento: cero. No tiene último elemento

3. Todo número natural tiene un sucesor. Un número natural y su sucesor se dicen consecutivos.

4. Todo número (exepto cero) tiene un antecesor.

5. El sucesor c de un número natural b es mayor que él y su antecesor a es menor. Simbolicamente: a<b<c

6. Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números naturales. Por eso se dice que es un conjunto discreto.