Los números reales

• La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto I de números irracionales es el conjunto R de números Reales, que puede representarse mediante una linea continua llamada Recta Real. Cada punto sobre esta recta representa un número real, y a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta. Por ello, con los números reales se completa la recta numérica.

Las propiedades de R son:
1. Es infinito
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Entre dos números reales existe siempre un número infnito de reales. Se dice que el conjunto de números reales es denso.
4. Ningún número real tiene sucesor ni antecesor.
5. El conjunto R es un conjunto totalmente ordenado por la relación, menor o igual.
6. Es un conjunto continuo porque completa la recta numérica.

Hemos visto los números naturales, enteros, racionales y reales. un número natural es también entero, y un número entero puede escribirse como un número racional utilizando una fracción que tenga un 1 de denominador.

Si m es entero, entonces  m/1=m es racional.

Tenemos así dos grandes grupos de números: los racionales y los irracionales. Estos dos grandes grupos forman el conjunto de los números reales.

Los números fraccionarios

Estos números surgen de la necesidad de expresar fracciones de unidad.
Por ejemplo:
"Tomas comió tres de las cuatro partes de las que constaba su tableta de chocolate" -->  3/4
4 dividido 3  -- >  4/3

• Se llama fracción a un cociente de números enteros. Todo número entero qe puede ser expresado mediante una fracción es un número racional. A este conjunto de números se los designa con la letra Q.
• Todo número entero se puede expresar como una fracción con denominador 1. Por ejemplo 3 = 3/1  ;  -4= -4/1
• Todo número racional se puede expresar como número decimal exacto o periodico. por ejemplo 0,4 = 4/10  ;  1/3=0,3333....
• Dos fracciones, a/b y c/d, que cumplen con la condición  a·b = c·d son equivalentes. Esto significa que expresan el mismo número racional.
• La unión del conjunto Z de los números enteros y el conjunto de números fraccionarios que no representan los números enteros es el conjunto Q de números racionales.

Las propiedades de Q son:
1. Es  infinito (∞)
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Entre dos números racionales existen infinitos numeros racionales. Por ello se dice que el conjunto de números racionales es denso.
4. Como consecuencia de la propiedad anterior , ningún numero racional tiene sucesor ni antecesor.

Q es un conjunto ordenado por la relacion menor o igual. Si los números racionales a/b y c/d son fraccionarios irreducibles, se cumple que:   a/b > c/d    < --- >  a·d>c·d