Propiedades de los números reales

Para todo número real  a, b  y  c:

Propiedad Conmutativa:  a + b = b + a

                                            a · b = b · a

Ejemplos:  5 + 3 = 3 + 5

                  2 x 4 = 4 x 2

Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c

                                         a · (b · c) = (a · b) · c

Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4

                 5 x (1 x 7) =  (5 x 1) x 7

Elemento Identidad de la Suma:  a + 0 = a

Ejemplos:  8 + 0 = 8;  -4 + 0 = -4

Elemento Identidad de la Multiplicación:  a · 1 = a

Ejemplos:  9 x 1 = 9;  -3 x 1 = -3

Inverso Aditivo:  a + (-a) = 0

Ejemplo:  6 + (-6) = 0

Inverso Multiplicativo: 

Ejemplos: 

Propiedad Distributiva:  a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplo:  5 · (3 + 4) = 5 · 3  +  5 · 4

fuente:
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/gemaconnum.htm 

Potenciación y Radicación de Números Racionales

ESTOS VIDEO MUESTRA EL DESARROLLO EN DETALLE DE EJERCICIOS DE  POTENCIACION Y RADICACION

Multiplicación y División de Números Racionales

Multiplicación de Fracciones
     
En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma:
   
Ejemplo: 2  · 3    =  6  =  2 · 3 _  =   1
                3    4       12      3 · 2 ·2      2


División de Fracciones
 
    En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco.
 
Ejemplo:
 
          3  ÷   4   =  3  · 3   =  9
          5       3        5     4      20
 
Ejemplo:
    3  ÷  1   =  3 · 2   =  6
    7      2       7   1        7

 Video ejemplo:

 

Adición y sustracción de números fraccionarios

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.

Veamos: Sean a /b   y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:

                    

a   +   c   =       ad + bc     (se multiplica cruzado y los productos de suman)       b        d                bd        (se multiplican los denominadores)

Veamos un ejemplo:

             El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que parte del trabajo tiene que realizar Cheo?

 

 

1   +  1    =    1(3) + 4(1)  = 3  + 4   =  7 4        3                (4)(3)           12          12

              

 

          

 Solución:   Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

Fuente: http://ponce.inter.edu/cremc/fracciones3.htm 

Los números reales

• La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto I de números irracionales es el conjunto R de números Reales, que puede representarse mediante una linea continua llamada Recta Real. Cada punto sobre esta recta representa un número real, y a cada número real le corresponde un único punto sobre la recta. Por ello, con los números reales se completa la recta numérica.

Las propiedades de R son:
1. Es infinito
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Entre dos números reales existe siempre un número infnito de reales. Se dice que el conjunto de números reales es denso.
4. Ningún número real tiene sucesor ni antecesor.
5. El conjunto R es un conjunto totalmente ordenado por la relación, menor o igual.
6. Es un conjunto continuo porque completa la recta numérica.

Hemos visto los números naturales, enteros, racionales y reales. un número natural es también entero, y un número entero puede escribirse como un número racional utilizando una fracción que tenga un 1 de denominador.

Si m es entero, entonces  m/1=m es racional.

Tenemos así dos grandes grupos de números: los racionales y los irracionales. Estos dos grandes grupos forman el conjunto de los números reales.

Los Números Irracionales

La ecuación x^2 - 2 = 0 no tiene solución en el campo de los números racionales. La solución a esta ecuación requiere la descripción de los números irracionales.
Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal es infinita y no tiene un período, por ejemplo:

• El número pi:

•  El número de oro:

•  Las raíces de índice par de números naturales cuyos resultados no son naturales
• Las raíces de índice impar de números enteros cuyos resultados no son enteros.

Por tanto:
-Los números irracionales no se pueden expresar como una fracción o como un cociente de dos enteros.

Para obtener un número irracional, es suficiente escribir un número cuyas cifras decimales sean infinitas y no presenten periodicidad.

Por ejemplo: 3,5155115551115555511111555551111...

La notación para los números irracionales será I

Los números negativos

Entonces, el hombre conoce los números naturales desde el momento que tuvo necesidad de contar, pero éstos no le alcanzan para expresar muchas situaciones, como por ejemplo las temperaturas bajo cero o el saldo deudor de una cuenta bancaria. Por eso fue necesaria la creación de los números negativos.

Los números negativos son los opuestos de los números naturales distintos de cero. El cero no es ni positivo ni negativo.

El conjunto de los números enteros  es la unión de los números enteros negativos, el conjunto que tiene a cero como único elemento y el conjunto de los números enteros positivos.

Al conjunto de los números enteros lo designamos con Z.

Las propiedades de Z son:
1. Es infinito
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Todo número entero tiene sucesor. un número entero y su sucesor se dicen consecutivos.
4. Todo número entero tiene antecesor.
5. El sucesor c de un número b es mayor que él y su antecesor a es menor. Simbólicamente: a<b<c
6. Entre dos números enteros existe siempre un número finito de números enteros. Por eso el conjunto de números enteros es discreto.