Valor absoluto de un número real

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6.
Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.
En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número.
De modo general, el valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces |a| = −a.
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:

Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos.
Veamos los siguientes ejemplos
Ejemplo 1
a)
b)
Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.
c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2, pues x − 2 > 0. Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la deja igual.
d) Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2),  pues  x − 2 < 0 . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto la cambia de signo.
Ecuaciones con valor absoluto
Si x es una incógnita en la expresión |x − 3|, entonces no sabemos si x − 3 es positivo o negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuación:
|x − 3| = 5
deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas:
x − 3 = 5
o bien
x − 3 = −5
La primera es en el caso de que x − 3 sea positivo, la segunda en la situación de que sea negativo.
Resolviendo las dos ecuación, tenemos que
x = 8 o bien x = −2
Efectivamente, estos valores de x satisfacen la ecuación: |x − 3| = 5
Veamos más ejemplos de resolución de ecuaciones en valor absoluto
Resolver |x − 4| = 3
Hay dos posibilidades: x − 4 = 3  o bien x − 4 = −3.
Las soluciones de ellas son 7 y 1.
Veamos:
x − 4 = 3
x = 3 + 4
x = 7
o bien
x − 4 = −3
x = −3 + 4
x = 1
Resolver 3 |5 − 4x| = 9
Veamos:
Hasta ahora, sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto se presenta en el lado izquierdo, así es que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3 ambos miembros de la ecuación:

De esta manera la ecuación dada es equivalente a:
|5 − 4x| = 3
Ahora,  esta ecuación en valor absoluto es equivalente a
5 − 4x = 3    o bien   5 − 4x = −3
Despejando x:
Si 5 − 4x = 3
−4x = 3 − 5
−4x = −2    /−1
4x = 2

Si 5 − 4x = −3
−4x = −3 − 5
−4x = −8    /−1
4x = 8

Las soluciones para la ecuación primitiva son  y 2.
Conocida esta respuesta, podemos representar el conjunto solución de nuestra ecuación 3 |5 − 4x| = 9 a través de la notación de conjunto como:

Recuerde que un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo ( ).

Propiedades fundamentales

	Propiedad multiplicativa
	Propiedad aditiva

Otras propiedades

	Simetría

Otras dos útiles inecuaciones son:

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

Desigualdades

Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita

La expresión

a

b,

quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.

Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:
5 > 0 ;
porque 5 - 0 = 5  

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

-9 < 0 ;
porque -9 -0 = -9  

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:
-10 > -30;
porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Sentido de una desigualdad.

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Desigualdades absolutas y condicionales.

Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella

Ejemplo:
a²+ 3 > a  

Desigualdades condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales:

Ejemplo:
2x - 8 > 0
que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.  

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.