Regla de signos

-(-a) = a
(-a) . b = -(a.b) = a.(-b)
(-1).a = -a

Y finalmente una regla importante que nos conviene tener en cuenta cuando operamos con fracciones.

a =  a. 1 = a.[b^(-1)]
b         b

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c
Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:
a + m = b + c + m
Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente
a + m > b +m   Ejemplos:

9 > 5 9 + 2 > 5 + 2 11 > 7

-2 > -6 -2 -3 > -6 -3 -5 > -9

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.

Ejemplo:
6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2  

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:
am = bm + cm.
Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:
am > bm
Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:

12 > 7 12 * 3 > 7 * 3 36 > 21

15 > -25 15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5 3 > -5

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

  Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:
-an = -bn -cn
Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,
-an < -bn
Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Ejemplos:

3 > -15 3(-4) < (-15)(-4) -12 < 60

64 < 80 64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4) -16 > -20

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo:
-7x + 130 < 9 -5x
7x - 130 > -9 + 5x  

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

  Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:
ab < b²
En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:
a² < b²

Ejemplo:
7 < 10
7³ < 10³
343 < 1000    

5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Sea la desigualdad -a < -b
a) Multiplicando sus dos miembros por b² se obtiene:
-ab² < -b³
En el primer miembro, reemplazando b² por a², la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:
-a³ < -b³
b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:
a² > b²

Ejemplos:

-3 > -6 (-3)3 > (-6)3 -27 > -216

-8 < -4 (-8)2 > (-4)2 64 > 16

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"
Se puede escribir:
a = b + c
a' = b' + c'
a" = b" + c" Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:
a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"
a + a' + a" > b + b' + b"

Ejemplo:
Dado: 2x > 10 y 7x > 26
se obtiene: 9x > 36

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < d
Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene
a > b
d > c

---

a + d > b +c
Restando d + c de cada miembro, resulta:
a - c > b -d


Ejemplo:
Dado: 7x < 12 y 5x > 16,
se obtiene: 2x < -4    

fuente: http://www.galeon.com/student_star/desigual.html 

Desigualdades

Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita

La expresión

a

b,

quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.

Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:
5 > 0 ;
porque 5 - 0 = 5  

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

-9 < 0 ;
porque -9 -0 = -9  

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:
-10 > -30;
porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Sentido de una desigualdad.

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Desigualdades absolutas y condicionales.

Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella

Ejemplo:
a²+ 3 > a  

Desigualdades condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales:

Ejemplo:
2x - 8 > 0
que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.  

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

 

Propiedades de los números reales

Para todo número real  a, b  y  c:

Propiedad Conmutativa:  a + b = b + a

                                            a · b = b · a

Ejemplos:  5 + 3 = 3 + 5

                  2 x 4 = 4 x 2

Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c

                                         a · (b · c) = (a · b) · c

Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4

                 5 x (1 x 7) =  (5 x 1) x 7

Elemento Identidad de la Suma:  a + 0 = a

Ejemplos:  8 + 0 = 8;  -4 + 0 = -4

Elemento Identidad de la Multiplicación:  a · 1 = a

Ejemplos:  9 x 1 = 9;  -3 x 1 = -3

Inverso Aditivo:  a + (-a) = 0

Ejemplo:  6 + (-6) = 0

Inverso Multiplicativo: 

Ejemplos: 

Propiedad Distributiva:  a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplo:  5 · (3 + 4) = 5 · 3  +  5 · 4

fuente:
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/gemaconnum.htm 

Potenciación y Radicación de Números Racionales

ESTOS VIDEO MUESTRA EL DESARROLLO EN DETALLE DE EJERCICIOS DE  POTENCIACION Y RADICACION

Multiplicación y División de Números Racionales

Multiplicación de Fracciones
     
En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma:
   
Ejemplo: 2  · 3    =  6  =  2 · 3 _  =   1
                3    4       12      3 · 2 ·2      2


División de Fracciones
 
    En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco.
 
Ejemplo:
 
          3  ÷   4   =  3  · 3   =  9
          5       3        5     4      20
 
Ejemplo:
    3  ÷  1   =  3 · 2   =  6
    7      2       7   1        7

 Video ejemplo:

 

Adición y sustracción de números fraccionarios

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.

Veamos: Sean a /b   y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:

                    

a   +   c   =       ad + bc     (se multiplica cruzado y los productos de suman)       b        d                bd        (se multiplican los denominadores)

Veamos un ejemplo:

             El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que parte del trabajo tiene que realizar Cheo?

 

 

1   +  1    =    1(3) + 4(1)  = 3  + 4   =  7 4        3                (4)(3)           12          12

              

 

          

 Solución:   Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

Fuente: http://ponce.inter.edu/cremc/fracciones3.htm